La irracionalidad de las raíces cuadradas

Recordatorio:

• Cuadrado perfecto: número entero que se puede obtener del cuadrado de otro número entero.
  
• Número irracional: número que no se puede expresar como fracción irreducible de dos números enteros donde el denominador sea distinto de cero.
  

Supongamos que si n NO es un cuadrado perfecto √n es un número racional. Si es un número racional, entonces √n se puede expresar como la fracción p/q siendo esta fracción irreducible (p y q son primos entre sí) y siendo q ≠ 0 y  q ≠ 1 (si q es igual a uno, n es necesariamente un cuadrado perfecto).

Si elevamos p y q al cuadrado podemos reducir la raíz cuadrada, con lo que nos quedaría:

n = p²/q², p² = nq²

Hemos llegado a que p² es producto de n, ya que resulta de multiplicar n por otro número (q²). Esta igualdad es absurda, pues tenemos a un lado de la igualdad al menos un factor primo con exponente impar y al otro lado p², que se puede expresar como producto de primos elevados a un exponente obligatoriamente par.

Este método de demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de un número que no sea cuadrado perfecto es llamado método "por reducción al absurdo" pues consiste en partir de una suposición y demostrar que es falsa realizando operaciones válidas a partir de esta suposición hasta llegar a una incongruencia.

Mediante la reducción al absurdo se puede demostrar que la √2 es irracional, hecho atribuido a la escuela pitagórica por primera vez.

Vea también: Cálculo de raíces cuadradas.